Helmholtz-Theorem

Das Helmholtz-Theorem vereinfacht Rechnungen in vielen Fällen in der Vektoranalysis. Insbesondere bei den Maxwell-Gleichungen, ihrer Erklärung und bei den Herleitungen vieler Gleichungen aus ihnen kommt es zum Einsatz.


Es besagt, dass ein Vektorfeld \vec{F} unter Voraussetzungen, die bei uns immer gegeben sind, in zwei Felder zerlegt werden kann:

(1)   \begin{eqnarray*} \vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 \end{eqnarray*}

Dabei ist \vec{F}_1 ein quellenfreies Feld und \vec{F}_2 ein wirbelfreies Feld, sodass gilt:

(2)   \begin{eqnarray*} \text{div} \, \vec{F}_1=0 \qquad &\text{und}& \qquad \text{rot} \, \vec{F}_1 \neq 0 \end{eqnarray*}

(3)   \begin{eqnarray*} \text{div} \, \vec{F}_2 \neq 0 \qquad &\text{und}& \qquad \text{rot} \, \vec{F}_2 = 0 \end{eqnarray*}


Ergibt der Divergenzoperator Null, so ist das Feld quellenfrei.

Das bedeutet, dass keine Feldlinie an einem Punkt startet und an einem anderen Punkt endet, denn in diesem Fall hätten wir an diesen Punkten eine Quelle bzw. eine Senke („negative Quelle“). Also muss es sich entweder um das Nullfeld handeln oder die Feldlinien, die existieren, müssen am gleichen Punkt enden, an dem sie beginnen. Dann sind die Feldlinien in sich geschlossen. In diesem Fall wäre in einer Umgebung dieser gleichzeitigen Start- und Endpunkte ähnlich wie bei der Kirchhoff’schen Knotenregel die Summe der ein- und ausgehenden Feldlinien gleich Null, was mit der Divergenzfreiheit vereinbar wäre.

Enden die Feldlinien am gleichen Punkt, an dem sie begonnen haben, sind sie also in sich geschlossen, so muss das Feld bereits rein im wörtlichen Sinne eine bestimmte Form von Wirbeln besitzen.

Ergibt der Rotationsoperator den Nullvektor, so ist das Feld wirbelfrei.

Ist die Rotation eines Vektorfeldes der Nullvektor, so „wirbelt“ das Feld in keine Richtung und tut dies noch dazu mit keiner „Amplitude“, da die euklidische Länge des Nullvektors gleich Null ist (einleuchtenderweise).

Es gibt also keine in sich geschlossenen Feldlinien, da wir ansonsten – siehe oben – wieder bereits im wörtlichen Sinne Wirbel hätten. Ist also keine Feldlinie in sich geschlossen, handelt es sich erneut entweder um ein Nullfeld, in dem überhaupt keine Feldlinien vorhanden sind, oder es handelt sich um ein Feld, bei dem jede Feldlinie von einem Punkt ausgeht und nicht in diesem Punkt wieder endet.

Um so ein Feld handelt es sich beispielsweise bei der Platzierung einer Punktladung im freien Raum, wie bereits hier beschrieben. Es gibt einen Punkt im Raum, dort wo die Punktladung sich befindet, und von dort gehen die Feldlinien aus. Sie gehen gerade von dort weg und laufen ins Unendliche, weil sie sich grundsätzlich nicht schneiden können und ohnehin radial verlaufen.


Kurz mathematisch zusammengefasst:

  • Gilt \text{div} \, \vec{F} =0, so besitzt \vec{F} zwar keine Divergenz, möglicherweise ist es aber ein reines Wirbelfeld der Form \vec{F}=\text{rot} \, \vec{A}. Dabei ist \vec{A} ein beliebiges anderes Vektorfeld. (die Divergenz einer Rotation ist immer Null – nachrechnen!)
  • Gilt \text{rot} \, \vec{F} =\vec{0}, so besitzt \vec{F} zwar keine Wirbel, möglicherweise ist es aber ein reines Gradientenfeld (ein Vektorfeld, das durch Bildung des Gradienten eines Skalarfeldes entsteht) der Form \vec{F}=\nabla \phi. Dabei ist \phi ein beliebiges Skalarfeld. (die Rotation eines Gradienten ist immer Null – nachrechnen!)

(4)   \begin{eqnarray*} \text{div} \, \vec{F}_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{F}_1 = \text{rot} \, \vec{A} \end{eqnarray*}

(5)   \begin{eqnarray*} \text{rot} \, \vec{F}_2 = 0\quad \Rightarrow\quad \vec{F}_2 = - \nabla \phi \end{eqnarray*}

Die Aussage des Helmholtz-Theorems ist nun:

Ein Vektorfeld kann in zwei Felder zerlegt werden, von denen eines ein reines Wirbelfeld, das andere ein reines Gradientenfeld ist. Superponiert ergeben beide Feldanteile wieder das ursprüngliche Vektorfeld.

Ein beliebiges Vektorfeld \vec{F} lässt sich also zerlegen gemäß:

(6)   \begin{eqnarray*} \vec{F}&=& \vec{F}_1 +\vec{F}_2 \\ &=&\text{rot} \, \vec{A} + \nabla \phi \end{eqnarray*}