E = – ▽Φ

Die rein mathematische Aussage der Gleichung ist relativ einfach: Das elektrische Feld entspricht dem negativen Gradienten des elektrischen Potentials. Doch was bedeutet das physikalisch? Wie ist die Gleichung zu verstehen? Und wann gilt sie?


YouTube-Video (beta)

Geltungsvoraussetzungen

Die Gleichung \vec{E}=- \nabla \phi gilt nur in der Elektrostatik. Warum das so ist, wird in der Herleitung weiter unten gezeigt. Das bedeutet, alle beteiligten Objekte, Felder etc. müssen zeitlich konstant sein. Ändern sie sich schwach mit der Zeit, ist die Gleichung nur noch eine Approximation, die mit steigender Zeitabhängigkeit immer ungenauer wird. Für die elektrische Feldberechnung mit zeitveränderlicher Umgebung wird das elektrische Vektorpotential \vec{A} verwendet, was an der TU im dritten Semester eingeführt wird. Zu gegebener Zeit wird auch das hier hergeleitet werden.

Bedeutung

Grundlage aus der Vektoranalysis: Der Gradient \nabla gibt angewendet auf ein Skalarfeld f(\vec{x}), \, \vec{x} \in \mathbb{R}^{\text{n}} einen Vektor zurück, der im Definitionsbereich des Skalarfeldes in die Richtung zeigt, in der das Skalarfeld am stärksten vom Funktionswert her zunimmt. Einfach gesagt, wenn man sich das Skalarfeld als solches mit zwei Eingangsparametern vorstellt, sodass sich das bekannte Gebirge ergibt, so zeigt der Gradient \nabla f in Richtung des steilsten Anstieges (der Gradient liefert einen Vektor!)

Zeigt also \nabla f in Richtung des steilsten Anstiegs von f an einem Punkt \vec{x_0} \in \mathbb{R}^{\text{n}}, so zeigt - \nabla f an diesem Punkt in Richtung des steilsten Abfalls des Skalarfeldes.

Angewandt auf unsere Gleichung bedeutet das: \vec{E} zeigt in Richtung des steilsten Abfalls des Potentials.

Und dass das so ist, wissen wir eigentlich bereits, wenn wir uns beispielsweise einen einfachen Plattenkondensator vorstellen. Wird er aufgeladen, entsteht zwischen den Platten das elektrische Feld, wie rechts abgebildet.

Dabei ist ersichtlich, dass die elektrischen Feldlinien von einem Punkt höheren Potentials ausgehen, beispielsweise U=\SI{12}{V}, und von da an direkt zu einem Punkt niedrigeren Potentials hin verlaufen, und zwar in Richtung des steilsten Abfalls des Potentials. Im Fall des Plattenkondensators ist das einfach die gerade Verbindung von der oberen zur unteren Platte.

Das ist im Grunde das, was hinter der Gleichung steckt:

Das elektrische Feld folgt dem steilsten Abfall des Potentials.

Dieses Prinzip lässt sich auf Strukturen mit mehr als 2 Elektroden verallgemeinern. Das wird relativ schnell relativ kompliziert, man muss zur korrekten Feldberechnung und Darstellung des elektrischen Feldes schnell Software einsetzen, die das Feld numerisch berechnet.

Herleitung

Wie fast alle Gleichungen, die wir verwenden, wird \vec{E}=- \nabla \phi aus den Maxwell-Gleichungen hergeleitet, genauer gesagt aus dem Faraday’schen Induktionsgesetz

(1)   \begin{eqnarray*} <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \text{rot} \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \end{eqnarray*}

Betrachten wir den zeitlich unabhängigen Fall, so sind alle zeitlichen Ableitungen gleich Null:

(2)   \begin{eqnarray*} <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \text{rot} \vec{E} = 0 <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \end{eqnarray*}

Ist die Rotation eines Vektorfeldes gleich Null, so handelt es sich um ein reines Gradientenfeld – siehe hierzu auch Helmholtz-Theorem. Das Vektorfeld \vec{E} lässt sich dann schreiben als

(3)   \begin{eqnarray*} <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \vec{E} = - \nabla \phi <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \end{eqnarray*}

womit wir ein Skalarfeld \phi einführen, welches wir das elektrostatische Potential nennen. Das Minuszeichen erscheint in diesem Fall willkürlich, ist allerdings bei uns nötig, da wir per Konvention die elektrischen Feldlinien „von Plus nach Minus“ zeichnen. Das Weglassen des Minuszeichens würde bedeuten, dass das elektrische Feld in Richtung des steilsten Anstieges des elektrischen Potentials zeigen würde, was genau die Gegenrichtung zur derjenigen wäre, die weiter oben unter „Bedeutung“ beschrieben wurde.


Ergänzung: Wieso diese Gleichung für Computersimulationen nützlich sein kann

Computerprogramme, die dem Benutzer ermöglichen, in bestimmten Geometrien elektrostatische Felder zu berechnen, müssen das \vec{E}-Feld als Vektorfeld bestimmen. An jedem Punkt des Raumes müssen daher drei Komponenten berechnet werden, was viel Rechenaufwand bedeutet. Mit der hier hergeleiteten Gleichung würde es ausreichen, zur Bestimmung von \vec{E} das skalare Potential im Raum zu finden. Das wird auch gemacht – man benötigt daher Ansätze, um \phi zu bestimmen. Gemacht wird das mit der sogenannten Green’schen Funktion des elektrostatischen Potentials G^\phi (\vec{r},\vec{r}\,'). Mit dieser Funktion und einer analytisch gegebenen Raumladungsverteilung \rho kann man das Raumintegral über das Produkt G^\phi (\vec{r},\vec{r}\,') \cdot \rho bilden und erhält so das elektrostatische Potential. Wie eine Raumladungsdichte beschrieben wird, ist hier unter „Ergänzung“ zu finden.

Zu Green’schen Funktionen wird zu gegebener Zeit noch eine Seite auf dieser Webseite erstellt werden.