Quellenfreiheit des mag. Feldes

Differentielle Form


In seiner differentiellen Form lautet das Gesetz über die Quellenfreiheit des magnetischen Feldes:

(1)   \begin{eqnarray*} \text{div} \, \vec{B}=0 \end{eqnarray*}

Das bedeutet ausgesprochen: Die Divergenz von \vec{B} ist an jedem Punkt des Raumes zu jeder Zeit konstant gleich Null. Dabei gilt im Falle isotroper Materialien das Materialgesetz \vec{B}=\mu \, \vec{H}.


Was bedeutet das?

Bedeutungstechnisch ist die Quellenfreiheit von \vec{B} (ich kürze das im Tutorium zumeist mit „QdB“ ab) äquivalent zum Gauß’schen Gesetz, da seine Form völlig identisch dazu ist. Mathematisch gesehen ist das QdB-Gesetz ein Spezialfall dieses Gesetzes: Setzt man \rho=0 und wählt auf der linken Seite ein anderes Vektorfeld \vec{B}, gelangt man zumindest mathematisch von der einen zur anderen Maxwell-Gleichung.

Auch von der Bedeutung her ist das QdB-Gesetz äquivalent zum oben erwähnten Gesetz von Gauß. Die Erklärung erfolgt äquivalent und hier nun verkürzt – für eine detailliertere Erklärung siehe daher Gauß’sches Gesetz.

Analog zum Gauß’schen Gesetz ist in dieser Maxwell-Gleichung die Quellstärke eines Feldes vorgegeben. Dieses Mal aber geht es nicht um \vec{D}, sondern um die magnetischen Flussdichte \vec{B}. Die Quellstärke dieser ist definiert als \text{div}\,\vec{B}=0. Die Ähnlichkeit zum Gauß’schen Gesetz ist ersichtlich: Es wird die Divergenz eines Feldes als Skalar vorgeschrieben. In diesem Fall hat der Skalar den Wert 0=\text{const.}, was eine striktere Definition im Vergleich zum Gauß’schen Gesetz ist, da man dort die Raumladungsdichte \rho im Grunde beliebig wählen kann.

Das Setzen von \text{div}\,\vec{B}=0 klingt wegen der 0 sehr simpel und ist ein Sich-Hineindenken durchaus wert: Ist die Quellstärke von \vec{B} zu jeder Zeit, an jedem Ort, zu jeder Temperatur, an allen möglichen weiteren Umgebungsbedingungen immer und überall gleich Null, egal wie der Raum und alles weitere aussieht, dann ist die Bedeutung von QdB schnell erklärt: So etwas wie magnetische Monopole gibt es im Gegensatz zu elektrischen Monopolen – wie z. B. Punktladungen, die wir in der Erklärung zum Gauß’schen Gesetz verwendet haben – schlichtweg nicht. Man kann keine magnetische Punkt“ladung“ im Raum platzieren, da sonst ein radiales Vektorfeld \vec{B} der magnetischen Feldlinien entstehen würde, das eine Divergenz liefern würde, was nach dem QdB-Gesetz aber verboten ist. Alleine der Begriff einer magnetischen Punkt“ladung“ stößt beim Lesen auf (bzw. sollte aufstoßen), denn Nord- oder Südpole sind ja eben nicht geladen, sondern magnetisch, was etwas anderes als Elektrizität ist. Besser ausgedrückt wird die Bedeutung von QdB dann, wenn man davon spricht, dass es keine magnetischen Monopole gibt.

Bereits in der Schule lernt man, dass, wenn man einen Stabmagneten mit einem Nord- und einem Südpol auseinander schneidet, sich zwei kleinere Stabmagneten bilden – wiederum jeweils mit einem Nord- und einem Südpol. Es lassen sich also auch mit Tricks keine magnetischen Monopole erschaffen.


Zusammenfassend und in einem Satz erklärt ist also das Gauß’sche Gesetz so zu verstehen:

Es gibt keine magnetischen Monopole, also isolierte Nord- oder Südpole, und damit auch keine magnetische Raumladungsdichte.


Ergänzung: Magnetische Monopole gibt es nicht. Oder etwa doch….?

Diese Frage könnte nun denjenigen verwirren, der zum ersten Mal mit diesem Gesetz in Kontakt kommt.

Die Antwort auf die Frage lautet tatsächlich „Jein“. Es ist zwar so, dass in der Natur bisher keine magnetischen Monopole beobachtet wurden und dass es so etwas anscheinend auch einfach wirklich nicht gibt. Tatsache ist jedoch, dass man in der Antennentheorie dennoch mit magnetischen Strömen in Berührung kommt. Fasst man das QdB-Gesetz verallgemeinert als

(2)   \begin{eqnarray*} \text{div} \, \vec{B}=\rho_{\text{m}} \end{eqnarray*}

auf, sodass die „magnetische Raum’ladungs’dichte“ wie beim Gauß’schen Gesetz prinzipiell frei gewählt werden kann, so ist es möglich, das sogenannte Huygens-Prinzip aus den Maxwell-Gleichungen herzuleiten. Mit diesem Huygens-Prinzip kann eine Antenne durch eine Dirac-förmige Verteilung von elektrischen und magnetischen Linienstromdichten (keine Flächenstromdichten!) ersetzt werden, die die Antenne mathematisch ersetzen. Mit noch weiteren Vorgehensweisen wie z. B. der Spiegelladungsmethode, allgemeiner „Image Principle“ genannt, lässt sich bei bestimmten Topologien die Antenne sogar für die Berechnung komplett aus dem Raum entfernen und rein durch die elektrischen und magnetischen Linienstromdichten im freien Raum ausdrücken, die statt der Antenne elektromagnetische Wellen in den freien Raum ausstrahlen.

Allerdings ist das eine rein mathematische Betrachtungsweise, die die Berechnung von Antennen zwar möglich macht und zu sinnvollen, in der Realität wiederzufindenden Ergebnissen führt. Dennoch wird klar betont, dass es sich dabei um reine Theorie handelt. „Ströme“ sind räumliche Bewegungen von Ladungsträgern. Bei elektrischen Strömen sind das elektrische Monopole wie beispielsweise Elektronen, die negativ geladen sind. Bei magnetischen Strömen wären es magnetische Monopole wie beispielsweise Südpole, die …südig?…. ge“laden“? … sind. Weil so etwas in der Natur aber nicht beobachtet werden kann und es für die Fächer E&M sowie EMF auch nicht relevant sein wird, schließen wir gemäß des QdB-Gesetzes die Existenz von magnetischen Monopolen aus. Es wird jedoch nicht ausgeschlossen, dass auf j-tie.de eines Tages die entsprechende Theorie und das Vorgehen gemäß des Huygens-Prinzips niedergeschrieben wird.