Gauß’sches Gesetz

Differentielle Form


In seiner differentiellen Form lautet das Gauß’sche Gesetz:

(1)   \begin{eqnarray*} \text{div} \, \vec{D}=\rho \end{eqnarray*}

Das bedeutet ausgesprochen: Die Divergenz des \vec{D}-Feldes ist gleich der Raumladungsdichte \rho. Dabei gilt im Falle isotroper Materialien das Materialgesetz \vec{D}=\epsilon \, \vec{E}.


Was bedeutet das?

Die Divergenz ist allgemein in der Mathematik und spezieller in der Vektoranalysis ein Maß dafür, wie sehr die Vektoren eines Vektorfeldes auseinanderstreben. Dadurch ist sie zugleich ein Maß für die Quellstärke eines Vektorfeldes.

Anschaulich klar wird das auf folgende Weise: Platziert man im leeren Raum eine Raumladungsdichte, die zunächst nur aus einer einzigen, punktförmigen, positiven Ladung besteht, so streben die elektrischen Feldlinien gemäß \vec{E}=- \nabla \, \phi radial von ihr weg. Würde man nun jemandem nur das entstandene \vec{E}-Feld zeigen und die Punktladung dabei ausblenden, so würde der Betrachter dennoch sehen, dass die elektrischen Feldlinien an einem Punkt besonders stark auseinanderstreben. Mathematisch – zur besseren Lesbarkeit vereinfacht – ausgedrückt: An diesem Punkt ist die Divergenz des Vektorfeldes ungleich Null. Die Divergenz ist, wie oben bereits erwähnt, ein Maß für die Quellstärke eines Vektorfeldes. Also ist an diesem Punkt die Quellstärke des Feldes ungleich Null. Das ist mathematisch und wörtlich gleichbedeutend damit, dass eben an diesem Ort eine Quelle sitzen muss, die das beobachtete Feld erzeugt. Das einzige, was dazu in der Lage ist, ist eine Punktladung im freien Raum, und von der sind wir ursprünglich ja ausgegangen.

Betrachten wir mehrere Punktladungen im Raum und lassen wir sowohl positive als auch negative Punktladungen zu, die sowohl ein- als auch mehrfach geladen sein können, so sprechen wir von einer allgemeinen Raumladungsdichte \rho. Mit steigender Anzahl an Punktladungen addieren sich die einzelnen erzeugten elektrischen Felder vektoriell, man spricht von Superposition. Das Feldlinienbild kann sehr kompliziert werden, wenn sehr viele Punktladungen in \rho enthalten sind.

Die Aussage des Gauß’schen Gesetzes bleibt aber nach wie vor gültig, auch wenn die Anzahl N der einzelnen Punktladungen in \rho gegen \infty geht.


Zusammenfassend und in einem Satz erklärt ist also das Gauß’sche Gesetz so zu verstehen:

Eine Ansammlung aus einem oder mehreren Ladungsträgern erzeugt ein elektrisches Feld, dessen Quelle diese Ladungsträger (= Raumladungsdichte) sind.


Ergänzung: Wie beschreibt man denn dann so eine Raumladungsdichte?

Das Prinzip der Beschreibung einer Raumladungsdichte ist an sich sehr anschaulich, man benötigt hierzu allerdings mathematische Werkzeuge, deren Grundlagen in der Funktionalanalysis liegen. Um eine Raumladungsdichte, die aus N Ladungsträgern bekannter Ladungen q_i an bekannten Orten \vec{r_i} besteht, zu notieren, bedient man sich sogenannter dreidimensionaler Dirac-Impulse \delta^3(\vec{r}-\vec{r}_i), deren Argumente räumliche Verschiebungen vom Ursprung aus zu den jeweiligen Orten der Ladungen hin sind. Dabei ist i \in [1, \ldots , N]. Auf diese Weise wird der Betrag einer Ladung q_i zunächst auf den kompletten Raum ausgedehnt und anschließend durch den Dirac-Impuls räumlich „gefiltert“, sodass die Amplitude der Punktladung sich nur auf einem infinitesimal kleinem Punkt konzentriert – eben den Ort der Punktladung selbst. Eine Raumladungsdichte aus N Ladungsträgern mit den Ladungen q_i, i \in [1, \ldots , N], die sich an den Orten \vec{r_i},i \in [1, \ldots , N] befinden, lässt sich dann in Summenschreibweise kompakt und elegant schreiben als:

    \[\rho=\sum_{i=1}^N q_i \cdot \delta^3(\vec{r}-\vec{r_i})\]

Integrale Form


Betrachtet man ein Kontrollvolumen V im dreidimensionalen Raum und integriert (1) über V, so erhält man:

(2)   \begin{eqnarray*} \iiint\limits_V \, \text{div} \,\vec{D} \, \text{d} V = \iiint\limits_V \, \rho \, \text{d} V \end{eqnarray*}

Das Integral auf der rechten Seite integriert eine räumliche Ladungsdichte über ein räumliches Gebiet. Es ist nachvollziehbar, dass diese Integration die Gesamtladung Q(V) im betrachteten Gebiet V liefert, die einfach die Summe aus den Amplituden der einzelnen Punktladungen aus \rho ist.

Wendet man auf der linken Seite den Gauß’schen Integralsatz

(3)   \begin{eqnarray*} \iiint \limits_V \, \text{div} \,\vec{F} \, \text{d} V =\iint\limits_{\partial V} \, \vec{F} \, \text{d} \vec{a} \end{eqnarray*}

an, so erhält man

(4)   \begin{eqnarray*} \iint \limits_{\partial V} \, \vec{D} \, \text{d} \vec{a} =Q(V) \end{eqnarray*}

Gleichung (4) ist die integrale Form des Gauß’schen Gesetzes.


Um das Gauß’sche Gesetz in seiner integralen Form zu verstehen, wird (4) nur etwas umgeschrieben, um die Orientierung des differentiellen Oberflächenelements von seiner Fläche bzw. seinem Betrag zu trennen:

(5)   \begin{eqnarray*} \iint \limits_{\partial V} \, \vec{D} \cdot \vec{n} \text{d} a=Q(V) \end{eqnarray*}

Ist V so gewählt, dass darin ein Teil von \rho oder \rho komplett eingeschlossen ist, so erhält man auf der rechten Seite von (4) die Gesamtladung in V. Enthält V keine Ladungen, so ergibt sich hier Null – hierzu findet sich am Ende dieser Seite noch ein Hinweis.

Auf der linken Seite passiert Folgendes:

Es handelt sich um ein Oberflächenintegral über die Randfläche \partial V von V. Über dieses Gebiet wird nun das Integral über die dielektrische Verschiebung \vec{D} gebildet, die wir hier über das Materialgesetz \vec{D}=\epsilon \, \vec{E} als elektrische Feldstärke betrachten können.

Die Integration funktioniert nun so, dass an jedem Punkt von \partial V das Skalarprodukt des dielektrischen Verschiebungsfeldes \vec{D} mit der Oberflächennormalen \vec{n} gebildet wird. Die Feldlinien von \vec{D} werden also auf die Oberflächennormale des jeweiligen Oberflächenelements projiziert und somit der Anteil von \vec{D} „herausgefiltert“, der senkrecht auf die Oberfläche steht. Die zur Oberfläche tangentiale Komponente von \vec{D} ist entweder nicht vorhanden oder entstammt einer anderen Quelle, die nicht innerhalb V liegt oder V ist so gewählt, dass eben auch tangentiale Komponenten von \vec{D} vorhanden sind. In keinem Fall sind die tangentialen Komponenten aber relevant für die Berechnung der Ladung Q(V).

Die Ergebnisse der einzelnen Skalarprodukte werden im Zuge der Integration aufsummiert und ergeben anschaulich gesprochen nur dasjenige elektrische Feld \vec{E} bzw. \vec{D}, welches von der Ladung bzw. von der Raumladungsdichte im Innern von V ausgeht.


Man könnte sich nun die Frage stellen, was denn passiert, wenn wie oben erwähnt das Kontrollvolumen V=V_0 gewählt wird, sodass keine Ladungen im Innern eingeschlossen sind, sich aber welche außerhalb V befinden. Dann ergibt sich für die rechte Seite von (4) zwar Null, die Feldlinien des aber natürlich dennoch von \rho erzeugten \vec{E}-Feldes reichen aber doch in V_0 hinein. Somit müsste die linke Seite mit dem Integral doch ungleich Null sein. Dann wäre die Maxwell-Gleichung nicht erfüllt – oder doch?

Zu beachten ist, dass bei der Ausführung des Integrals bei der Bildung der Skalarprodukte die Richtung des integrierten Feldes eine Rolle spielt. Hier kommt etwas zum Einsatz, was äquivalent zur Kirchhoff’schen Knotenregel ist: Feldlinien, die von außerhalb in V_0 hinein- und wieder hinauslaufen, werden betragsgleich einmal positiv und einmal negativ gezählt. Dadurch heben sie sich in Summe im Integral wieder auf und werden zu Null. Da dabei alle Feldlinien in sämtlichen Orientierungen zählen und sich jede Feldlinie unabhängig von Form und Ort von V exakt mit sich selbst an einer anderen Stelle von \partial V aufhebt, ergibt die linke Seite von (4) auch Null und die Gleichheit ist gültig. So wird anschaulich keine Maxwell’sche Gleichung verletzt. Das Gauß’sche Gesetz kann bei der Wahl V=V_0 also bedeutungsmäßig so aufgefasst werden, dass nicht existierende Ladungen ein dielektrisches Verschiebungsfeld \vec{D}=\vec{0} erzeugen, was einleuchtend sein sollte.


Insgesamt wird also, wie bereits in der Erklärung der differentiellen Form erwähnt, erneut klar, dass elektrische Ladungen elektrische Felder erzeugen. Dieser fundamentale Grundsatz sollte aus der Schule bekannt sein und ist als solcher in jeder Klausur über elektromagnetische Felder absolutes Grundwissen.