Faraday’sches Induktionsgesetz

Differentielle Form ^!!under construction!!^


In seiner differentiellen Form lautet das Faraday’sche Induktionsgesetz:

(1)   \begin{eqnarray*} \text{rot} \, \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \end{eqnarray*}

Das bedeutet ausgesprochen: Die Rotation des \vec{E}-Feldes ist gleich der zeitlichen Ableitung der magnetischen Flussdichte \vec{B}. Dabei gilt im Falle isotroper Materialien das Materialgesetz \vec{B}=\mu \, \vec{H}.


Was bedeutet das?

Die Rotation ist allgemein in der Mathematik und spezieller in der Vektoranalysis ein Maß für die Wirbelstärke eines Vektorfeldes.

In Bezug auf die obige Gleichung lässt sich das Faraday’sche Induktionsgesetz zunächst so auffassen: Ändert sich ein magnetisches Feld mit der Zeit, so ist es äquivalent zu einem elektrischen Wirbelfeld. Dies kann so aufgefasst werden, dass ein sich mit der Zeit änderndes magnetisches Feld ein elektrisches Wirbelfeld erzeugt (das gleiche gilt anders herum: Ein elektrisches Wirbelfeld erzeugt ein sich zeitlich änderndes Magnetfeld).

Wir erkennen also Folgendes: Es gibt zwei verschiedene Quellen bzw. Ursachen für die Entstehung elektrische Felder. Einerseits solche, die durch das Gauß’sche Gesetz beschrieben werden, andererseits solche, die durch das Faraday’sche Induktionsgesetz beschrieben werden. Macht man es anhand von Beispielen konkret, kann das auch so formuliert werden: Elektrische Felder können, wie wir aus dem Gauß’schen Gesetz wissen, durch elektrische Ladungen erzeugt werden. Durch zeitlich veränderliche Magnetfelder können nach dem hier beschriebenen Faraday’schen Induktionsgesetz ebenfalls elektrische Felder erzeugt werden, jedoch solche, deren Rotation ungleich Null ist.


Zusammenfassend und in einem Satz erklärt ist also das Faraday’sche Induktionsgesetz so zu verstehen:

Zeitveränderliche Magnetfelder erzeugen elektrische Wirbelfelder, andersherum erzeugen elektrische Wirbelfelder zeitlich veränderliche Magnetfelder.

Integrale Form


Betrachtet man eine Kontrollfläche A im dreidimensionalen Raum und integriert (1) über A, so erhält man:

(2)   \begin{eqnarray*} \iint\limits_A \, \text{rot} \,\vec{E} \, \text{d}\vec{A}=\iint\limits_A \,-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \, \text{d} \vec{A} \end{eqnarray*}

Hier ist es im Gegensatz zu beispielsweise dem Gauß’schen Gesetz nicht direkt zu sehen, was passiert.

Wendet man auf der linken Seite den Stokes’schen Integralsatz

(3)   \begin{eqnarray*} \iint \limits_A \, \text{rot} \,\vec{F} \, \text{d} \vec{A} =\int\limits_{\partial A} \, \vec{F} \, \text{d} \vec{s} \end{eqnarray*}

an, so erhält man

(4)   \begin{eqnarray*} \int \limits_{\partial A} \, \vec{E} \, \text{d} \vec{s} =\iint\limits_A \,-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \, \text{d} \vec{A} \end{eqnarray*}

Gleichung (4) ist die integrale Form des Faraday’schen Induktionsgesetzes.


Um das Gauß’sche Gesetz in seiner integralen Form zu verstehen, bemerken wir, dass wir im Fach Elektrizität und Magnetismus gelernt haben, dass das Wegintegral von Punkt A zu Punkt B über ein elektrisches Feld dem Potentialunterschied zwischen A und B entspricht. Dieser Potentialunterschied ist das, was wir als Spannung definiert haben.

Um das Ganze jetzt anschaulich zu interpretieren, stellen wir uns eine Leiterschleife vor, die zum Beispiel rechteckig ist. Die Leiterschleife ist nicht ideal leitend, sondern sie hat einen gewissen ohm’schen Widerstand R \l 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

wird (4) nur etwas umgeschrieben, um die Orientierung des differentiellen Oberflächenelements von seiner Fläche bzw. seinem Betrag zu trennen:

(5)   \begin{eqnarray*} \iint \limits_{\partial V} \, \vec{D} \cdot \vec{n} \text{d} a=Q(V) \end{eqnarray*}

Ist V so gewählt, dass darin ein Teil von \rho oder \rho komplett eingeschlossen ist, so erhält man auf der rechten Seite von (4) die Gesamtladung in V. Enthält V keine Ladungen, so ergibt sich hier Null – hierzu findet sich am Ende dieser Seite noch ein Hinweis.

Auf der linken Seite passiert Folgendes:

Es handelt sich um ein Oberflächenintegral über die Randfläche \partial V von V. Über dieses Gebiet wird nun das Integral über die dielektrische Verschiebung \vec{D} gebildet, die wir hier über das Materialgesetz \vec{D}=\epsilon \, \vec{E} als elektrische Feldstärke betrachten können.

Die Integration funktioniert nun so, dass an jedem Punkt von \partial V das Skalarprodukt des dielektrischen Verschiebungsfeldes \vec{D} mit der Oberflächennormalen \vec{n} gebildet wird. Die Feldlinien von \vec{D} werden also auf die Oberflächennormale des jeweiligen Oberflächenelements projiziert und somit der Anteil von \vec{D} „herausgefiltert“, der senkrecht auf die Oberfläche steht. Die zur Oberfläche tangentiale Komponente von \vec{D} ist entweder nicht vorhanden oder entstammt einer anderen Quelle, die nicht innerhalb V liegt oder V ist so gewählt, dass eben auch tangentiale Komponenten von \vec{D} vorhanden sind. In keinem Fall sind die tangentialen Komponenten aber relevant für die Berechnung der Ladung Q(V).

Die Ergebnisse der einzelnen Skalarprodukte werden im Zuge der Integration aufsummiert und ergeben anschaulich gesprochen nur dasjenige elektrische Feld \vec{E} bzw. \vec{D}, welches von der Ladung bzw. von der Raumladungsdichte im Innern von V ausgeht.


Man könnte sich nun die Frage stellen, was denn passiert, wenn wie oben erwähnt das Kontrollvolumen V=V_0 gewählt wird, sodass keine Ladungen im Innern eingeschlossen sind, sich aber welche außerhalb V befinden. Dann ergibt sich für die rechte Seite von (4) zwar Null, die Feldlinien des aber natürlich dennoch von \rho erzeugten \vec{E}-Feldes reichen aber doch in V_0 hinein. Somit müsste die linke Seite mit dem Integral doch ungleich Null sein. Dann wäre die Maxwell-Gleichung nicht erfüllt – oder doch?

Zu beachten ist, dass bei der Ausführung des Integrals bei der Bildung der Skalarprodukte die Richtung des integrierten Feldes eine Rolle spielt. Hier kommt etwas zum Einsatz, was äquivalent zur Kirchhoff’schen Knotenregel ist: Feldlinien, die von außerhalb in V_0 hinein- und wieder hinauslaufen, werden betragsgleich einmal positiv und einmal negativ gezählt. Dadurch heben sie sich in Summe im Integral wieder auf und werden zu Null. Da dabei alle Feldlinien in sämtlichen Orientierungen zählen und sich jede Feldlinie unabhängig von Form und Ort von V exakt mit sich selbst an einer anderen Stelle von \partial V aufhebt, ergibt die linke Seite von (4) auch Null und die Gleichheit ist gültig. So wird anschaulich keine Maxwell’sche Gleichung verletzt. Das Gauß’sche Gesetz kann bei der Wahl V=V_0 also bedeutungsmäßig so aufgefasst werden, dass nicht existierende Ladungen ein dielektrisches Verschiebungsfeld \vec{D}=\vec{0} erzeugen, was einleuchtend sein sollte.


Insgesamt wird also, wie bereits in der Erklärung der differentiellen Form erwähnt, erneut klar, dass elektrische Ladungen elektrische Felder erzeugen. Dieser fundamentale Grundsatz sollte aus der Schule bekannt sein und ist als solcher in jeder Klausur über elektromagnetische Felder absolutes Grundwissen.